Függelék


nevezetes idősorok

Idősoros modellek leírása

Áttekintő tanulmányunk arra vállalkozik, hogy a téma részletes kifejtése nélkül bemutassa az idősorok elemzése során alkalmazott modellek tulajdonságait. Gyógyszerforgalmi adatok felhasználása mellett mutatjuk be az egyes modelleket. A kék színnel jelölt görbék a mért dobozforgalmi értékeket mutatják. A modellillesztés során az utolsó 6 periódust nem vettük be a kutatásba, így előrejelzésünket tudjuk tesztelni az amúgy ismert adatokon. Összesen 113 adat állt rendelkezésünkre, melyből 107-et vontunk be az idősorillesztésbe, és a kvázi jövőbeli értékeket 6 perióduson keresztül előrejeleztük.

Tehát zöld színnel jelöltük azt a függvényt, melyet a modell segítségével illesztettünk az adatokra, illetve ez a görbe jelöli az előrejelzést is – természetesen bemutatjuk a valóságban mért értékeket is a kék görbén keresztül.

Egyszerű modell: exponenciális simítás

Nem feltételezünk az idősoros adatokban sem trend, sem szezonális hatást. Az adatok modellezéséhez, és az előrejelzéshez a sima exponenciális simítás technikáját használjuk fel.

Az exponenciális simítás lényege abban van, hogy egy adott időponthoz tartozó értéket úgy definiálunk, hogy abban benne foglaltatnak a múltbeli értékek is az időben visszafelé haladva egyre kisebb súllyal. A súly értéke 0 és 1 között lehet. Amennyiben 1-hez közeli súlyt választunk, akkor kis mértékben fogjuk kisimítani az idősorunkat, azaz nagy súlyt kap az aktuális érték, és kis súlyt kapnak a múltbeli értékek. Nulla közeli súly választása esetén pedig erős simítást hajtunk végre az idősoron, az ingadozásokat szinte teljesen kiszűrjük, és egy hullámzó görbét fogunk kapni. Ebben az esetben kis súlyt fog kapni az aktuális érték, és nagy – de az időben mértani sorként egyre gyengülő mértékű – súlyt fognak kapni a múltbeli értékek. A megfelelő alfa súly érték kiválasztásához statisztikai programcsomag lehet segítségünkre, mely ciklikus futtatás mellett találja meg a legkisebb szóráshoz tartozó értéket.

Lineáris és nem lineáris trend modell

Ezen modell használata esetén azt feltételezzük, hogy az időben előre haladva nem alakulnak ki szezonálisan ismétlődő folyamatok, hatások. Nincs semmilyen periodicitás az adatsorban.

Tehát csak trendhatás van jelen. Lineáris trend feltételezése esetén a legkisebb négyzetek módszer felhasználásával találja meg a modell a legjobban illeszkedő egyenest, megadva annak konstans értékét és meredekségi együtthatóját. Nem lineáris esetben egy rögzített függvény (exponenciális, logaritmikus, négyzetes, stb.) transzformáció segítségével illeszti a görbét az adatokhoz, megadva a hozzájárulás mértékét.

Egyszerű szezonális modell

Az egyszerű szezonális modell olyan idősorokra illeszthető jól, melyekben nem figyelhető meg trend, azaz a kvázi trend vonal egy nulla meredekségű egyenes. Tehát a jövőben nem várhatunk dobozforgalmi növekedést, a piacon beállt egy egyensúlyi helyzet. A szezonális hatás olyan dominánsan és szabályosan jelentkezik, hogy nincs szükség exponenciális simításra.

sed1.gif

Szezonalítás illesztése additív modellel

A szezonalítás állandóságát feltételezzük additív modell esetében, tehát a szezonalítást kifejező komponens értéke attól függ, hogy melyik szezonban vagyunk, attól nem, hogy az adott szezon hányadik periódusában. Így a trend határozza meg az idősor fő áramát, a szezonalítás hatása konstans formában járul hozzá (hozzáadódik vagy kivonódik) az adott időszakhoz tartozó trend értékhez. Amennyiben a szezonalítást a trendtől függetlenül ábrázoljuk, akkor egy periodikusan ismétlődő függvényt kapunk, állandó hullámhosszal és állandó amplitúdóval.

urs1.gif

Szezonalítás illesztése multiplikatív modellel

Multiplikatív modell esetén a szezonalítás hatása nem független az idősor trend függvényének adott értékétől. Nagyobb trend értékhez nagyobb szezonális érték tartozik, tehát a kilengés mértéke annál nagyobb, minél magasabbra ível trend függvényünk. Tehát a kilengések trendhez viszonyított aránya nagyjából állandónak tekinthető.

Amennyiben a szezonalítást a trend függvény nélkül ábrázoljuk, akkor egy periodikusan ismétlődő függvényt kapunk, állandó hullámhosszal, de nem állandó amplitúdóval. Az amplitúdó attól függ, hogy a trend függvénynek az adott pillanatban mekkora az értéke.

dox1.gif

Lineáris trend modell Brown-féle vagy Holt-féle simítással

A modell azt feltételezi, hogy lineáris trend figyelhető meg az idősorban. Szezonális hatás nem igazolható, tehát az ingadozások periodicitása nem konvergál konstans értékhez.

A Brown- és a Holt-féle simítás nagyon hasonlít egymáshoz, csak matematikai formula felírásával lehetne érzékeltetni a különbséget, ezért itt eltekintünk ennek ismertetésétől.

Mindkét eljárás az exponenciális simítás egy speciális esetét alkalmazza, azaz egymás után kétszer hajtja végre a simítást.

req1.gif

Winters additív modell

A modell azon idősorokhoz illeszkedik a legjobban, ahol lineáris trend figyelhető meg, és additív szezonális hatás. Az additív szezonalítás leírása a trend lineáris voltának megkötésén kívül teljes mértékben helytálló.

Winters multiplikatív modell

A modell azon idősorokhoz illeszkedik a legjobban, ahol lineáris trend figyelhető meg, és multiplikatív szezonális hatás. Az multiplikatív szezonalítás leírása a trend lineáris voltának megkötésén kívül teljes mértékben helytálló.

Telítődő modell (damped trend)

Akár lineáris, akár nem lineáris módon, de egy konstans értékhez, azaz egy vízszintes egyeneshez simul hozzá az idősor. Például nulla dobozforgalomról hirtelen felugrik egy adott értékig, majd ezen érték körül ingadozik.

ram1.gif